Algorithmische Methoden: Funktionen, Matrizen, Multivariate by Philipp Kügler, Wolfgang Windsteiger

By Philipp Kügler, Wolfgang Windsteiger

Dies ist der zweite Band von Algorithmische Methoden, ein Lehrbuch zur computerorientierten Begleitung der research und Linearen Algebra. Als mathematische Objekte dienen Funktionen, Matrizen und multivariate Polynome der Gliederung des Bandes. Neben den Grundlagen dazu werden die Darstellung der Objekte am machine, wie etwa die Termdarstellung von Funktionen, sowie darauf definierte Grundoperationen wie zum Beispiel die Faktorisierung einer Matrix besprochen. Als roter Faden führt das Lösen der mit Hilfe der Objekte beschreibbaren Gleichungssysteme durch den textual content. Eine Besonderheit dabei ist das Lösen polynomialer Gleichungssysteme mit Hilfe von Gröbner-Basen. Alle Lösungsalgorithmen werden anhand von Beispielen illustriert, die als in Matlab oder Mathematica ausführbare Downloads zur Verfügung stehen.

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23 24 I Funktionen von R nach R AlgorithmusEvalAblPolyHorner: Auswertung Ableitung/Polynom nach Horner if p = 0 ← 0, Á ← 0 else n ← deg(p), ← pn , Á ← 0 for i from n − 1 to 0 by -1 Á← +w·Á ← pi + w · return ( , Á) Aufruf: EvalAblPolyHorner(p, w) Eingabe: p ∈ PR , w ∈ R. Ausgabe: , Á ∈ R mit: = eval(p, w), Á = eval(p , w). 4 Integration Ähnlich wie beim Differenzieren in Abschnitt 3 unterscheidet man auch beim Integrieren einer Funktion f : I → R zwischen zwei Problemstellungen, dem Berechnen b des unbestimmten Integrals f und dem Berechnen des bestimmten Integrals a f bei gegebenen a < b ∈ I.

Es sei L > 0 die Lipschitz-Konstante von f und es sei [¯x − , x¯ + ] ⊂ [a, b] und L ≤ 12 |f (¯x )| erfüllt sind. Aus > 0 so klein, dass |f (¯x )| − |f (x)| ≤ |f (¯x ) − f (x)| ≤ L|¯x − x| ≤ L ≤ 12 |f (¯x )| folgt dann 1 |f 2 (¯x )| ≤ |f (x)| für alle x ∈ [¯x − , x¯ + ]. 60) einen Widerspruch zum Mittelwertsatz liefert. 58) die Darstellung x (k+1) − x¯ = x (k) − x¯ − f (x (k)) x (k) − x (k−1) f (x (k) ) − f (x (k−1)) f (x (k) ) − f (x (k−1) ) f (x (k) ) − f (¯x ) − (k) (k−1) x (k) − x¯ = (x (k) − x¯ ) x − x (k) (k−1) f (x ) − f (x ) x (k) − x (k−1) = (x (k) − x¯ ) 1 0 f (x (k−1) + t(x (k) − x (k−1))) − f (¯x + t(x (k) − x¯ )) dt f ( 1) Satz 46 I Funktionen von R nach R mit 1 ∈ [¯x − , x¯ + ].

Dies führt uns zur linearen Ausgleichsrechnung. 6 Mathematische Grundlagen Matrix. Für m, n ∈ N nennt man A eine m × n-Matrix (über R) genau dann, wenn A : {1, . . , m} × {1, . . , n} → R. Für die Menge aller m × n-Matrizen über R schreiben wir Rm×n . Man nennt m × n die Dimension von A. P. , Algorithmische Methoden © Springer Basel AG 2012 Definition 50 II Matrizen Eine m × n-Matrix A besitzt somit für alle i ∈ {1, . . , m} und j ∈ {1, . . , n} einen Funktionswert A(i, j). Insgesamt ist A durch die m · n Funktionswerte vollständig charakterisiert, und man schreibt eine Matrix als rechteckiges Schema mit m Zeilen und n Spalten, in dem in der i-ten Zeile und j-ten Spalte genau der Wert A(i, j) steht.

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