Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure: Band II: by Karl Graf Finck von Finckenstein, Jürgen Lehn, Helmut

By Karl Graf Finck von Finckenstein, Jürgen Lehn, Helmut Schellhaas

Dieser zweite Band des Arbeitsbuches Mathematik für Ingenieure folgt in seinem Aufbau der bewährten Konzeption des Arbeitsbuches zur research: Nach einer Darstellung der Fakten werden diese durch ausführliche Bemerkungen ergänzend aufbereitet und erläutert. Anhand der zahlreichen Beispiele wird das gewonnene Grundverständnis vertieft und über die angeschlossenen assessments und Übungsaufgaben überprüft und angewendet. Das Angebot an aktiver Beschäftigung des Lesers mit den Themen schafft somit die Grundlage für ein erfolgreiches Lernen und Arbeiten in den Gebieten Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Numerik und Statistik.

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4 erhalten wir die allgemeine L¨ osung der inhomogenen Differentialgleichung in der Form y(x) = c1 · y1 (x) + . . + cn · yn (x) + y ∗ (x) , c1 , . . , cn ∈ R . Sucht man die spezielle L¨ osung, die die Anfangsbedingungen (2) erf¨ ullt, so m¨ ussen ahlt werden. Die Anfangsbedingungen die Konstanten c1 , . . , cn geeignet gew¨ 44 5. Lineare Differentialgleichungen der Ordnung n f¨ uhren auf das lineare Gleichungssystem ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ α0 − y ∗ (x0 ) c1 ∗ ⎜ c2 ⎟ ⎜ ⎟ α1 − (y ) (x0 ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ W (x0 ) · ⎜ . ⎟ = ⎜ ⎟ .

Sie bilden ein Fundamentalsystem, denn ihre Wronski-Matrix x x2 1 2x W (x) = hat die Determinante det W (x) = x2 > 0 f¨ ur x > 0 . b) Das Gleichungssystem (4) lautet in diesem Beispiel x x2 1 2x v1 (x) v2 (x) · 0 x = und hat die L¨ osung v1 (x) = −x, v2 (x) = 1 . Also gilt v1 (x) = − 21 x2 + c1 , v2 (x) = x + c2 , c1 , c2 ∈ R . Nun erh¨ alt man aus (3) die allgemeine L¨ osung y(x) = c1 · x + c2 · x2 + (14) 1 2 · x3 , c1 , c2 ∈ R . Das Anfangswertproblem y +y = 1 cos x , y(0) = 0 , y (0) = 1 osung, denn dort ist die St¨ orfunkhat auf dem Intervall (− π2 , π2 ) eine eindeutige L¨ 1 stetig.

Kapitel 1, Beispiel (12)): ⎧ ur −∞ < x ≤ −c ⎨ (x + c)3 f¨ 0 f¨ ur −c ≤ x ≤ c y(x) = ⎩ (x − c)3 f¨ ur c≤x<∞ mit beliebigem c > 0. b) y(0) = 2, also x0 = 0, y0 = 2. 3 erf¨ ullt sind. 2 |y 1/3 | ≤ 2, Die auf dem Intervall [−1, 1] eindeutig bestimmte L¨ osung lautet √ 3 3 y(x) = (x + 2) . Diese Funktion ist sogar f¨ ur alle x ∈ R eine L¨ osung der Differentialgleichung. (6) In dem Streifen S = {(x, y) : − 12 ≤ x ≤ 12 , y ∈ R} betrachten wir das Anfangswertproblem y = y2, y(0) = 1 . Die hierzu eindeutig bestimmte L¨ osung lautet: ur x ∈ [− 12 , 12 ].

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